64. Fármacos

Cuando se administró cierto fármaco a un paciente, el número de miligramos que permanecen en el torrente sanguíneo del paciente después de t horas se modela mediante:

¿Cuántos miligramos del fármaco permanecen en el torrente sanguíneo del paciente después de tres horas?

Desarrollo: 

R// Después de 3 horas pertenecen 27,44058181 miligramos de fármaco en un paciente.

A medida que el tiempo avanza, permanecen menos miligramos de fármaco en el torrente sanguíneo. Por eso, la tabla es descendente.

65. Decaimiento radiactivo

Una sustancia radiactiva se desintegra de tal manera que la cantidad de masa que permanece después de t días se expresa mediante la función: 

donde m(t) se mide en kilogramos.

a) Encuentre la masa en el tiempo t=0
b) ¿Cuánta masa permanece después de 45 días?

Desarrollo:

a)

R// En 0 tiempo la masa es de 13kg.

b)

A medida que el tiempo avanza, la masa disminuye. Es por eso que la gráfica es descendente.

66. Decaimiento radiactivo

Los médicos emplean el yodo radiactivo como trazador para diagnosticar ciertos trastornos de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de tal manera que la masa restante después de t días se determina mediante la función:

donde m(t) se mide en gramos.

a) Encuentre la masa en el tiempo t=0.
b) ¿Cuánta masa queda después de 20 días?

Desarrollo:

a)

R// La masa en el tiempo 0 es de 6 gramos.

b)

A medida que el tiempo avanza, la masa del yodo se pone más pequeña.

Es por eso que la gráfica es descendente. 

67. Paracaidismo

Un paracaidista salta desde una altura razonable sobre el suelo. La resisitencia del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y la constante de proporcionalidad es 0.2. Se ouede demostrar que la velocidad de descenso del paracaidista en el tiempo t se expresa como:

donde t se mide en segundos y v(t) se mide en pies por segundo (pies/s).

a) Encuentre la velocidad inicial del paracaidista.

b) Calcule la velocidad después de 5 s y después de 10s.

c) Dibuje la gráfica de la función de velocidad v(t).

d) La velocidad máxima de un objeto que cae con resistencia del viento se llama su velocidad terminal de este paracaidista.

Desarrollo: 

a) La velocidad inicial de paracaidista es 0.

b)

R// La velocidad después de 5s. Es de 50.6 pies/s , y después de 10 s es de 69.2 pies/s.

c)

A medida que el tiempo avanza, la velocidad aumenta. Vo= 0; vf= 80.

 Por eso la gráfica es ascendente.

d) R// La velocidad final del paracaidista es 80 pies/s.

68. Mezclas y concentraciones

Un barril de 50 galones se llena por completo con agua pura. A continuación se bombea hacia el barril agua salada con una concentración de 0.3 lb/gal, y la mezcla resultante sale a si misma tasa. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t se determina mediante:

Donde t se mide en minutos y Q(t) se mide en libras.

a) Cuánta sal está en el barril después de 5 min.?

b) Cuánta sal está en el barril después de 10 min.?

c) Dibuje una gráfica de funcion Q(T).

d)  Use la grafica del inciso c) para determinar el valor a que se aproxima la cantidad de sal en el barril cuando t se vuelve grande. ¿es esto lo que esperaría?

Desarrollo:

a)

b)

c)

d) Si, esto es lo que esperaría porque cuando t se vuelve grande, es decir a medida de que va pasando el tiempo, la cantidad de sal en el barril va incrementando.

69. Crecimiento logístico

Las poblaciones animales no pueden crecer sin restricción debido a la limitación de hábitat y suministros de alimento. En tales condiciones la población siguiente un modelo de crecimiento logístico.

Donde c, d y k son constantes positivas. Para cierta población de peces, en un pequeño estanque  d = 1200, k = 11, c = 0.2, y t se mide en años. Los peces se introdujeron en el estanque en el tiempo t = 0.

a) ¿Cuántos peces se colocaron originalmente en el estanque?

b) Calcule la población después de 10,20 y 30 años.

c) Evalúe p(t) para valores grandes de t --> infinito? ¿La gráfica mostrada confirma sus cálculos?

Desarrollo:

a)

R// Originalmente en el estanque se colocaron 100 peces.

b)

 

R// Población después de 10 años: 482,1813657.

       Población después de 20 años: 998,7743625.

       Población después de 30 años: 1168,148806.

c) R// El valor que tiende  la población  cuando t →∞ es 1200.

70. Población de aves

La población de cierta especie de ave está limitada por el tipo de hábitat requerido para anidar. La población se comporta de acuerdo con el modelo de crecimiento logístico:

donde t se mide en años.

a) Encuentre la población inicial de aves.

b) Dibuje la gráfica de la función n(t).

c) ¿Qué tamaño tiene la población cuando el tiempo avanza?

Desarrollo:

a)

R// La población inicial de las aves es 200.

b)

c) Como la grafica lo muestra, a medida que va pasando el tiempo la población de aves aumenta.

71. Diámetro de un árbol

Para cierto tipo de árbol el diámetro D (en pies) depende de la edad del árbol t (en años) de acuerdo con el modelo de crecimiento logístico:

Determine el diámetro de un árbol de 20 años.

Desarrollo:

R//  El diámetro de un árbol a los 20 años es de 1,600322671 pies.

Entre mas viejo sea, el diámetro sera mayor. 

Es por eso que la gráfica es ascendente.

78. Absorción de luz

Un epectrofotómetro mide la concentración de una muestra disuelta en agua al irradiar una luz por ésta y registrar la cantidad de luz que emerge. En otras palabras, si se conoce la cantidad de luz absorbida. Se puede calcular la concentración en la muestra. Para cierta sustancia, la concentración (en moles/litro) se encuentra por media de la fórmula:

donde lo es la intensidad de la luz incidente e l es la intensidad de luz emergente. Encuentre la concentración de la sustancia si la intensidad es l es 70% de lo. 



Desarrollo:

R// La concentración de la sustancia si la intensidad es 70% , es de 891,68736 moles/litro.

Entre más intensidad de luz, hay mayor concentración de la muestra disuelta.

 Por la tanto, la gráfica es  descendente.

79. Fechado con carbono

La edad de un objeto antiguo se puede determinar por la cantiad de carbono 14 radiactivo que permanece en él. Si Do es la cantidad original de carbono 14 D es la cantidad restante, entonces la edad A del objeto (en años) se determina por: 

Encuentre la edad de un objeto si la cantidad D de carbono 14 que permanece en el objeto es 73% de la cantidad original Do.

Desarrollo:

R// La edad del objeto con 73% de carbono 14 es de 2601,71373 años.

Entre más cantidad de carbono en el objeto, mas viejo sera. 

Es por eso que la gráfica es  descendente.